Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Кратные интегралы

Цилиндрические и сферические координаты для вычисления тройных интегралов

Приложения тройного интеграла

Типовые примеры и их решения

Пример 1. Вычислить двойной интеграл  по прямоугольной области D, ограниченной прямыми x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.

Решение. Вычисляем данный интеграл по формуле (31):

.

Внутренний интеграл вычисляем, считая х постоянным:

.

Полученную функцию от х интегрируем по отрезку [0, 1]:

.

Обычно вычисление внутреннего интеграла отдельно не делают, а все выкладки записывают в одну строку следующим образом:

.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена прямыми y = 2, z = y и гиперболой .

Решение. Область D (рис. 23) является простой относительно оси 0у. Она имеет нижнюю границу  и верхнюю границу z=y. При любом фиксированном значении у из отрезка [1, 2] z меняется от  до z=y, поэтому имеем

.

Пример 3. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена прямыми x = 0, y = 1 и кривой x = ln y.

Решение. Область D (рис. 24) является простой относительно оси 0у. Она имеет левую границу х = 0 и правую границу x = ln y. При любом фиксированном значении у из отрезка [1, 2] x меняется от x = 0 до x = ln y, поэтому по формуле (30) имеем

.


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла