Начертательная геометрия http://areytur.ru/
Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Геометрические приложения определенного интеграла

Типовые примеры и их решения

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r = 2а cos3j.

Решение. Линия задана в полярных координатах, поэтому исходная – формула (16). Фигура (рис. 10) симметрична относительно полярной оси, поэтому можно вычислить площадь верхней части фигуры, соответствующей изменению угла j от 0 до p/2, и результат удвоить:

Используя формулу интегрирования по частям в определенном интеграле, имеем:

,

или

,

т. е. 

Таким образом,

 или .

Пример 10. Вычислить длину дуги полукубической параболы  от точки А(1, 1) до точки В(4, 8).

Решение. Так как кривая задана уравнением вида y = f (x), то длина ее дуги вычисляется по формуле (19)

 = =

.


Пример 11. Найти длину первого витка спирали Архимеда r = а j (рис. 11).

Решение. Так как линия задана в полярной системе координат, то используется формула (21), причем первый виток спирали соответствует изменению угла j от 0 до 2p:

  =

  .

Рассмотрим неопределенный интеграл

.

Таким образом,

.


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла