Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Геометрические приложения определенного интеграла

Типовые примеры и их решения

Пример 5. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Решение.  В силу определения имеем

  = .

Следовательно, интеграл сходится.

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Решение.  По формуле (7) имеем

 =

= .

Следовательно, интеграл расходится.

Пример 7. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. Интеграл от разрывной функции.

Подынтегральная функция  имеет бесконечный разрыв в точке х=0. В силу определения имеем

= .

Следовательно, интеграл сходится и равен 2.

Пример 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x - x2, 2x + y = 0.

Решение. В данном примере линии заданы в декартовой системе координат, поэтому исходной – является формула (13). Фигура сверху ограничена графиком функции f2(x) = 2x - x2, снизу f1(x) = -2x (см. рис. 9). Пределы интегрирования - точки пересечения этих графиков:

2x - x2 = -2x Þ  x2 - 4x = 0 Þ x1 = 0; x2 = 4.

Таким образом,

.


Рис. 9


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла