Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Геометрические приложения определенного интеграла

Типовые примеры и их решения

Пример 1. Оценить интегралы: 1) ; 2) .

Решение. Для оценки двух интегралов воспользуемся следующим свойством определенных интегралов: если m – наименьшее, а М – наибольшее значение функции f(x) на отрезке х Î [a, b], то

. (26)

1. Наибольшего значения функция достигает при х = 2, т. е.
М = f(2) = . Аналогично, при х = 0 m = f(0) = . Так как b – a = 2, то

.

2.  Функции  и  монотонно убывают на отрезке , монотонно убывает поэтому и их произведение, так что наибольшее и наименьшее значения подынтегральная функция принимает на концах отрезка:

.

Учитывая, что b – a = , получаем оценку:

 .

Пример 2. Найти среднее значение функции f(x) = tg2x на отрезке xÎ[0; ].

Решение. Для нахождения среднего значения воспользуемся следующим свойством определенных интегралов: если функция f(x) непрерывна на отрезке xÎ[a, b], то на этом отрезке найдется такая точка x, что 

.  (27)

Число  называется средним значением f(x) на отрезке [a; b].

Таким образом,

.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Рекомендуемая подстановка 2x + 1 = t2;  x = (t2 – 1)/2; dx = t×dt. Такая подстановка приводит к тому, что иррациональность под знаком интеграла исчезает. При этом изменению переменной х от х = 0 до х = 4 соответствует изменение переменной t от t – 1 до t = 3. Применяя формулу замены переменной для определенного интеграла, получаем

 =

Пример 4. Вычислить .

Решение. Данный пример на использование формулы интегрирования по частям для определенного интеграла:

,  (28)

где символ  обозначает разность u(b)×v(b) - u(a)×v(a).

Положим u = x, dv=e-xdx, тогда du= dx, 

Подставляя полученные значения в формулу (7) интегрирования по частям, получаем


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла