Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Пример 10. Найти .

Решение. Применяя понижение степени тригонометрических функций, имеем

 =

Так как  получаем

  =

Пример 11. Найти .

Решение. Данный интеграл от иррациональной функции вида , где функция R рациональна относительно своих аргументов. Рекомендуемая подстановка x=t k, где k – общий знаменатель дробей  , т. е. k = 6, поэтому делаем подстановку х = t 6, dx = 6t 5 dt, тогда

=

Пример 12. Найти 

Решение. Рекомендуемая подстановка  дает

  . Поэтому

Пример 13. Найти .

Решение. Замечая, что , получим

=

.

Для нахождения  применим подстановку t = x + 1, тогда x = t – 1; dx = dt.

=

.

Окончательно получаем

=


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла