Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Типовые примеры и их решения

Пример 4. Найти .

Решение. Нахождение данного интеграла от рациональной дроби  можно условно разбить на 3 этапа:

I этап. Если дробь неправильная, т. е. степень числителя P(x) больше или равна степени знаменателя Q(x), выделяют целую часть рациональной дроби R(x), деля числитель P(x) на знаменатель Q(x) по правилу деления многочлена на многочлен.

Тогда  .

Данная дробь неправильная, так как степень числителя больше степени знаменателя, поэтому выделяем целую часть:

 

  

 

   

 

 х

 

Таким образом,  = .

II этап. Правильную дробь  разлагают на простейшие дроби. Для этого находят корни уравнения Q(x) = 0 и разлагают знаменатель Q(x) на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:

  (2)

В этом разложении знаменателя Q(x) множители первой степени соответствуют действительным корням, а множители второй степени – парам мнимых сопряженных корней. Коэффициент при наибольшей степени х в знаменателе Q(x) можно считать равным единице, ибо этого всегда можно добиться, деля на него P(x) и Q(x). Разумеется, если знаменатель Q(x) уже представлен в виде (2), корни искать излишне. После этого правильная дробь разлагается на простейшие по формуле

  , (3)

где А1, А2,..., М1, N1, ... – неопределенные (неизвестные) коэффициенты.

Дроби приводят к общему знаменателю Q(x) и приравнивают числители обеих частей равенства (3). Затем сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х. Это приводит к системе уравнений, из которой и находятся значения интересующих нас коэффициентов.

В нашем примере правильная остаточная дробь

.

Знаменатель правильной дроби разлагается на множители следующим образом:

.

По формуле (3) каждому множителю знаменателя вида (х – а) в разложении правильной дроби на простейшие соответствует слагаемое вида , поэтому в данном случае получится разложение

.

Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получим тождество

.

Коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества должны быть равны, поэтому, отмечая за чертой слева при каких степенях х сравниваются коэффициенты, получим систему уравнений

Из третьего уравнения системы А = 2. Подставляя значение А в первое уравнение и сокращая второе на 2, будем иметь:

B + C = 2; B – C = 9 Þ B = 5; C = –3.

III этап. Находят интегралы выделенной целой части и всех простейших дробей, которые затем складывают.

Заменяя под знаком интеграла остаточную дробь ее разложением на простейшие дроби и находя нужные интегралы, последовательно получим

.

Пример 5. Найти .

Решение. Подынтегральная дробь правильная, ее знаменатель разлагается на множители по формуле суммы кубов . По формуле (3) имеем

,

откуда  .

Сравнивая коэффициенты, составим систему уравнений

найдем А = 2; М = 0; N = –1, поэтому

  = .

В последнем интеграле подстановка  dx = dt дает


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла