Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла

Из геометрического смысла определенного интеграла вытекает: если   на , то , где - площадь криволинейной трапеции (рис.1).

Рассмотрим теперь случай, когда  на . Тогда  на .

 Графики этих функций симметричны относительно оси , и потому площадь  равна площади  (рис.8), а следовательно:

  или .

 

 

 Рис.8

 Тогда в общем случае, когда функция  меняет знак на , как, например, на рис.9, имеем:

 

 Рис.9

 Пусть теперь фигура ограничена графиком функции  (сверху) и (снизу), прямыми  и  (рис.10). Найдем ее площадь. Для этого перенесем параллельно оси ординат фигуру вверх на расстояние m так, чтобы она оказалась выше оси абсцисс (рис.11). После этого переноса ее ограничивают графики функций   и .

  

 Рис.10 Рис.11

 

При переносе площадь не меняется, и поэтому –площадь

 .

Пример 44 Найти площадь фигуры, ограниченной параболами

и

 

 Сначала найдем точки пересечения парабол, для чего решим систему уравнений 

  (эти точки принадлежат и той, и другой параболе, и поэтому их координаты удовлетворяют одновременно уравнениям обеих парабол).

 Из этой системы получаем: , откуда  Тогда искомая площадь:


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла