Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Типовые примеры и их решения

Пример 1. Найти неопределенный интеграл  Результат проверить дифференцированием.

Решение. Для нахождения неопределенного интеграла  предварительно разложим подынтегральную функцию на сумму функций. Так как

,

то  =

. Купить медицинские справки о болезни и другие медицинские документы в день обращения.. От него, в частности, может зависеть судьба туристической путевки, отдыха в санатории, пионерлагере, за границей. Также справка из поликлиники соответствующей формы предоставляет вам право на трудоустройство или учебу, посещение спортивных секций и занятий в бассейне. Все они представляют собой подтверждение вашего здоровья несколькими врачами.

Замечая, что d(1 – x2) = –2xdx, находим xdx= . Предположив arcsin x = u, получим

.

Проверка: 

Пример 2. Найти .

Решение. Этот интеграл «берется» по частям по формуле

. (1)

Здесь перед нами несколько возможностей. Если положить u=x; dv = sin x×dx, тогда du = dx; v =. Используя формулу интегрирования по частям, имеем

Замечание. Если в этом примере мы возьмем u=sin x; dv=x×dx; du=cos x×dx и ,

то  = .

Это разбиение подынтегрального выражения на произведение двух сомножителей следует считать неудачным, так как степень х в интеграле повысилась и получился интеграл более сложный, чем исходный.

Пример 3. Найти .

Решение. Этот интеграл находят двухкратным интегрированием по частям. Причем повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к уравнению искомого интеграла.

Обозначим искомый интеграл буквой I и, полагая u=cos x; dv=ex×dx; du = –sin x×dx; v = ex, получим

.

Перенеся I в левую часть равенства и разделив на 2, найдем

.

Замечание. К числу интегралов, вычисляемых интегрированием по частям, относятся, например, интегралы вида

где P(x) – многочлен (в частности, степенная функция хn); f(x) – одна из следующих функций: eax, sin ax, cos ax, ln x, arctg x, arcsin x.


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла