Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Геометрические приложения частных производных

 а) Уравнения касательной в точке  к пространственной кривой

: , где  – направляющий

вектор касательной,  – точка касания.

 б) Уравнения касательной плоскости  и нормали  к поверхности  в точке .

.

.

  Задача 23. Составить уравнение касательной прямой к пространственной линии .

  Решение. Уравнение касательной к пространственной кривой в общем виде таково: . Найдем координаты точки касания:

   , затем координаты направляющего вектора

.

  Итак,  – касательная к пространственной кривой в данной точке.

  Задача 24. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности   (гиперболический параболоид) в точке .

  Решение. Вначале запишем уравнение данной поверхности в виде , т. е. . Тогда уравнение касательной плоскости в общем виде запишется так:

где , ,

т. е. нормаль к касательной плоскости  – точка касания, значит, , т. е.  – касательная плоскость к данной поверхности в точке .

 Уравнения нормали к этой же поверхности в точке  в общем виде запишутся так:  – направляющий вектор нормали, за него можно принять нормаль к касательной плоскости , т. е. . Итак,  – это канонические уравнения нормали к данной поверхности в точке .

 Задача 25. Показать, что конус  и сфера  касаются друг друга в точке .

 Решение. Чтобы решить задачу, достаточно показать, что в точке  данные конус и сфера имеют общую касательную плоскость:

.

Сначала найдем касательную плоскость к конусу в точке : уравнение конуса запишем в виде , т. е. в виде , откуда

, , .

Значит,  – касательная плоскость к конусу в точке .

 Также найдем касательную плоскость к сфере  в точке .

, , .

 

 Касательная плоскость к сфере в точке  задается уравнением

, что и требовалось доказать.

  Задача 26. На поверхности  найти точки, в которых касательная плоскость параллельна координатной плоскости XOZ.

 Решение. Так как касательная плоскость к поверхности параллельна плоскости XOZ, то она перпендикулярна оси OY и ее нормаль  имеет координаты . С другой стороны известно, что нормаль касательной плоскости к поверхности  имеет координаты:

.

Чтобы найти , сравним А, В и С вектора : , , , т. е.    – координаты точки касания. Осталось

найти В. Так как точка касания принадлежит поверхности, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой поверхности:

, откуда значит . Значит, точек касания две:  и .


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла