Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D

 Правило. Чтобы найти М – наибольшее и m – наименьшее значения функции   в замкнутой области D, находят критические точки этой функции. Если эти точки принадлежат области D, то в них следует вычислить значения . Затем, используя уравнения границы L области D, нужно найти критические точки , принадлежащие L, вычислить в них значения . Вычислить значения  на концах L. Осталось из всех найденных значений данной функции  выбрать самое большое М и самое малое m.

 Задача 17. Найти наибольшее М и наименьшее m значения функции   в прямоугольнике .

Решение. Найдем критические точки функции z, которые принадлежат заданной области

  Таким образом, решений у системы два: . Первому решению соответствует точка , которая принадлежит границе области. Второму решению соответствует критическая точка , которая принадлежит области, поэтому вычислим значения функции в ней:  .

 Исследуем функцию z на границе области (прямоугольник ABCD), которая состоит из четырех звеньев:

 1. АВ: . Получаем критическую точку , вычислим функцию в этой точке: .

 2. ВС: . Найдем произ-водную этой функции: , корень уравнения , поэтому критическая точка . Вычислим значение функции в ней: .

.

  3. СD: . Найдем , а . Поэтому критическая точка . Вычислим в ней значение функции:

.

 4. AD: . Найдем производную этой функции: , действительных корней не имеет.

Осталось вычислить значения функции  на концах каждого из отрезков, являющихся сторонами прямоугольника: АВ, BC, CD, AD, т. Е. в вершинах прямоугольника .

   ,

   ,

 ,

 .

 Сравнив все подчеркнутые значения функции z (только они представляют интерес), делаем вывод: наибольшее значение z достигает в вершине прямоугольника D, т. Е. , а наименьшее – в двух точках: во внутренней точке области  и в вершине .

  Задача 18. В шар, диаметр которого равен 2R, вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема (рис. 5).

Решение. Обозначим x, y, z – стороны параллелепипеда, тогда . Из рис. 5 видно: , , т. е. ,

значит,  , где , .

 
 


 

 2R

 z a y

 x

  Рис. 5

;

,

или 

Из условия задачи ,

  или  ,

откуда , т. е. прямоугольный параллелепипед, вписанный в данный шар, будет иметь наибольший объем, если он будет кубом, ребра которого равны .

 Элементы скалярного поля

 а) Производная скалярного поля  по направлению вектора

 (рис.6).

определяется так:  – это скорость изменения скалярного поля в направлении вектора .

 
 z

 

    M0

 M β

 α

 0 у

  x Рис. 6

 

 Задача 19. Найти скорость изменения скалярного поля  в точке  в направлении от этой точки к точке .

 Решение. Скорость изменения скалярного поля в направлении вектора   в точке  определяют по формуле

.

  В задаче , ,

.

,

  ,

 .

 Подставим все найденные величины в первую формулу:

.

  Ответ: В заданном направлении данное скалярное поле убывает со скоростью .

 б) Градиент скалярного поля  – вектор

.

 Очевидно,

 

 

  

 

 (рис. 7).

 
 P0 φ  

 

  

 Рис. 7

 Задача 20. Найти величину градиента скалярного поля   в точке .

 Решение.

.

.

 

 Ответ: .


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла