Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Приложения производных функции

 Полный дифференциал функции двух переменных и его приложение в приближенных вычислениях

 Если , то  – полный дифференциал

. Так как полное приращение функции , то

.

  Задача 13. Найти полный дифференциал  функции .

 Решение. Воспользуемся формулой  или, что то же самое, .

 

  .

 Задача 14. Высота конуса Н=60 см, радиус основания R=20 см. Как изменится объем конуса, если высоту увеличить на 3 мм, а радиус основания  уменьшить

на 1 мм?

 Решение. Изменение объема конуса, т. е. приращение  , можно заменить его полным дифференциалом  : , .

 Дано: R = 20 см,  = -0,1 см, Н = 60 см,  = 0,3 см. 

  

 .

 Ответ: Объем конуса уменьшится приблизительно на 120 .

 Задача 15. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала .

  Решение. Воспользуемся функцией  и формулой

.

Положив  , найдем

.

Вычислим  в условиях задачи:

.

Итак, 

.

 Экстремумы функции

(максимум и минимум )

 а) Необходимые условия: если в точке  функция имеет экстремум, то  в этой точке.  – критическая (стационарная) точка.

  б) Достаточные условия: если  – критическая точка и

  в этой точке, то  – точка экстремума. Причем, если , то   – точка максимума, если , то  – точка минимума. Чтобы найти экстремум, надо вычислить .

 Задача 16. Найти минимум и максимум функции .


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла