Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Задача 8. Дана функция . Доказать, что эта функция удовлетворяет уравнению .

  Решение.

.

  Подставим в уравнение найденные значения производных:

,

что и требовалось доказать. Набор инструментов TOPTUL - цены и разновидности комплектаций Чем больше количество предметов в наборе инструмента, тем более он универсален, и наоборот. Цены на наборы инструмента также существенно различаются. Это зависит и от комплектации и частично от производителя.

 Производная сложной функции

  а) Если , где , то  - сложная функция двух переменных х и у, тогда

.

 б) Если , где , то  - сложная функция одной переменной х, тогда

   - полная производная сложной функции одной независимой переменной х.

 в) Если , где , то  - сложная функция одной переменной х и

.

  Задача 9. Дана функция , где  т. е.  – сложная функция двух переменных х и у, где u и v - промежуточные аргумен-

ты. Найти .

 Решение. ;

 .

 Задача 10. Дана функция . Найти .

 Решение. Очевидно, что u – сложная функция одной независимой перемен-

ной t, а x, y и z – промежуточные аргументы, т. е. существует  - полная производная сложной функции одной переменной.

 

 .

 Задача 11. Найти , если , где .

 Решение.

  

 , если .

 Сравните: , т.к. .

 Производная функции, заданной неявно

  а) Если , то у – функция одной переменной х, заданная неявно.

.

  б) Если , то z – функция двух независимых переменных, заданная неявно.

.

  Задача 12. Дано: . Доказать, что .

 Решение. Данное уравнение задает неявно функцию  z, зависящую от переменных х и у. Запишем данное уравнение в виде .

. Очевидно, что

.

;

.

 

 Очевидно: , что и требовалось доказать.


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла