Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Геометрический смысл частных производных первого порядка

  Задача 5. Через точку  поверхности  проведены плоскости, параллельные координатным плоскостям  XOZ и YOZ. Определить углы, которые образуют с осями координат OX и OY касательные к получившимся сечениям, проведенные в их общей точке  (рис. 3).

 Решение. Геометрический смысл частных производных первого порядка   функции  состоит в том, что частные значения этих частных производных, вычисленные в точке касания, определяют тангенсы углов наклона к соответствующим осям касательных к образовавшимся сечениям, проведенных в точке касания  – это тангенсы углов наклона к соответствующим осям касательных в этой точке к кривым, которые образуются при пересечении поверхности   плоскостями , т. е.

 z

 M0

0 y0 y

 β

  x0

 х

 α 

Рис. 3

с осью OX: ;

с осью OY: ;

.

Для отыскания производных данной функции преобразуем ее, используя формулу: 

.

 

 

 

 

 Ответ: .

 Задача 6. Найти частные производные второго порядка функции .

 Решение. ,

   

 Заметим, что 

 Задача 7. Найти , если .

 Решение. Вначале найдем .

;

 .

 Теперь найдем .

;

  Сравнив ответы, убеждаемся в том, что частные производные смешанного типа не зависят от порядка дифференцирования.


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла