Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия

Определение функции двух переменных , или .

Способы ее задания: аналитический, табличный, явный, неявный.

Область определения и область изменения функции . Классификация областей определения: открытая и замкнутая, ограниченная и неограниченная.

Геометрический смысл функции , или .

Задача 1. Найти область определения функции .

Решение. Функция z представляет собой  сумму двух слагаемых функций:   и . Найдем области их определения:

,

,

 

 

 

 

Очевидно, область определения функции z есть пересечение областей определения , т. е.  (рис. 1).

 y

   

 -2 0 2 x

 Рис. 1

Ответ: D – область, отмеченная двойной штриховкой, замкнутая и

неограниченная.

 Задача 2. Найти область определения функции .

 Решение. z – логарифмическая функция, поэтому

 y 

 L

 

 D

 С(-1, 0) 0 x

 Рис. 2

Парабола разбивает всю плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю по отношению к параболе. Возьмем для контроля любую точку плоскости, например, О(0, 0), подставим

ее координаты в первое неравенство: ; где D – область определения функции, открытая, неограниченная (рис.2).

 Дифференцирование функций нескольких переменных

 Частные производные функции 

 а) первого порядка: ,

где   - частное приращение z по х.

 ,

где  - частное приращение z по y.

 б) второго порядка:  - вторая производная функции z по переменной x, т. е. частная производная по переменной х, взятая от частной производной первого порядка по переменной х.

  - смешанная производная z по х и по у;

   - смешанная производная z по у и по х.

Можно показать, что порядок дифференцирования безразличен, т. е. ;

   - вторая производная функции z по переменной y.

 Правило. Отыскивая частные производные функции нескольких переменных по одной из переменных, пользуемся правилами и формулами дифференцирования, считая в этот момент все остальные переменные постоянными.


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла