Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля

Вычислить , где L – дуга параболы , пробегаемая от точки  до .

Решение. Данный интеграл – криволинейный интеграл по координатам (второго рода).

Найти моменты инерции относительно осей координат участка однородной прямой , лежащего между осями координат в плоскости .

Вычислить , где  – внешняя сторона части сферы . Решение. В нашем случае будем вычислять каждый из слагаемых поверхностных интегралов второго рода отдельно.

Пример Вычислить линейный интеграл векторного поля вдоль прямолинейного отрезка , где  и .

Пример 11. Найти общее решение уравнения .

Ñ Дано ЛНДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью второго вида, следовательно,

у он = у оо + у чн

Найдем у оо, для чего решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:

Составим характеристическое уравнение и решим его.

Þ Þ 

Корни характеристического уравнения действительные различные, поэтому

  Þ

Правая часть , равная , представляет собой многочлен нулевой степени , умноженный на eax, где a=-1.

В соответствии с таблицей будем искать yчн в виде многочлена нулевой степени, только с неопределенным коэффициентом, т.е. А, умноженного на e-x и на xr, где r = 1, т. к. –1 является корнем характеристического уравнения кратности 1:

.

Т. к. yчн – решение данного уравнения, то после подстановки ее в исходное уравнение вместо y, получим тождество. Найдем предварительно:

Подставим ,  в исходное уравнение:

  Þ

Тогда

.  #

Пример 12. Найти общее решение уравнения .

Ñ Имеем ЛНДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью третьего вида. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:

Составим характеристическое уравнение и решим его.

  Þ

Корни характеристического уравнения комплексные, поэтому

Запишем правую часть sin x в виде: 0× cos x + 1× sin x, здесь b=1.

При sin x и cos x стоят многочлены нулевой степени , следовательно,

,

где А и В - многочлены тоже нулевой степени только с неопределенными коэффициентами, а r = 0, т. к. числа  не являются корнями характеристического уравнения. Итак,

Подставим ,  в данное уравнение:

Получим тождество. Приравнивая коэффициенты при sin x и cos x, получим систему уравнений:

Тогда, т. к. у он = у оо + у чн , то

.  #

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач