Математика Типовые примеры и их решения

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

Пример. Найти неопределенный интеграл  Результат проверить дифференцированием.

Пример. Найти . Решение. Нахождение данного интеграла от рациональной дроби  можно условно разбить на 3 этапа:

Пример 10. Найти . Решение. Применяя понижение степени тригонометрических функций

Пример 14. Найти . Решение. Данный интеграл с помощью «обратной подстановки»  сводится к интегралу вида .

Геометрические приложения определенного интеграла Пример 2. Найти среднее значение функции f(x) = tg2x на отрезке xÎ[0; ].

Пример 5. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r = 2а cos3j.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х одной полуволны синусоиды y = sin x (0 £ x £

Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами – это уравнение, которое имеет вид:

,  (7)

где p, q – некоторые действительные числа. Решение этого уравнения сводится к решению алгебраического уравнения, называемого характеристическим. Чтобы получить характеристическое уравнение, в уравнении (7) заменяем   на k, а  - на k2.

* - характеристическое уравнение.

При решении этого квадратного уравнения возможны три случая:

а) , б) ,  в)

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Дано ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:

  Þ

Корни характеристического уравнения – действительные различные, поэтому , следовательно, общее решение данного уравнения:

. #

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Имеем ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид:

 Þ

Корни характеристического уравнения – действительные равные, поэтому , следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:

.  #

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Данное уравнение является ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:

  Þ .

Если корни характеристического уравнения комплексные , то общее решение ЛОДУ имеет вид: , следовательно, общее решение данного уравнения:

. #

7 . Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью имеет вид:

,

где p, q – некоторые действительные числа,  - правая часть ЛНДУ. Общее решение этого уравнения (у он) состоит из общего решения соответствующего ЛОДУ (у оо) и частного решения ЛНДУ (у чн):

у он = у оо + у чн (8)

О нахождении у оо смотрите п. 6. Следующая таблица помогает найти у чн:

 

Замечание

1

Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности r.

2

Число α является корнем характеристического уравнения кратности r.

3

Числа ±βi являются корнями характеристического уравнения кратности r.

S=max(m,n)

4

Числа α±βi являются корнями характеристического уравнения кратности r.

S=max(m,n)

  - данные многочлены степени n и m соответственно.    - многочлены той же степени только с неопределенными коэффициентами.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач