Примеры решения задач Функции нескольких переменных

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

Задача. Найти область определения функции .

Задача. Найти частные производные первого порядка следующих функций: .

Геометрический смысл частных производных первого порядка Задача Через точку  поверхности  проведены плоскости, параллельные координатным плоскостям XOZ и YOZ. Определить углы, которые образуют с осями координат OX и OY касательные к получившимся сечениям, проведенные в их общей точке

Дана функция . Доказать, что эта функция удовлетворяет уравнению .

Приложения производных функции Полный дифференциал функции двух переменных и его приложение в приближенных вычислениях

 Решение. Найдем стационарные точки, в которых  (необходимые условия экстремума):

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D Задача . Найти наибольшее М и наименьшее m значения функции   в прямоугольнике .

Найти наибольшую скорость возрастания скалярного поля   в точке .

Геометрические приложения частных производных Задача. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности   (гиперболический параболоид) в точке .

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

Ñ Это уравнение является ЛНДУ. Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций: . После этой подстановки данное уравнение примет вид:

Вынесем за скобки u:

 

  (5)

Найдем одну из функций v, такую, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль: . Это уравнение будет с разделяющимися переменными. Решим его.

Подставим найденную функцию в уравнение (5).

.

Т.к. y = uv, то  - общее решение данного уравнения. #

5 . Дифференциальные уравнения второго порядка, которые явно не содержат х или у, т. е. уравнения вида  или , допускают понижение порядка. С помощью соответствующей подстановки их решение сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Ñ Это уравнение имеет вид , т. е. не содержит явно у, следовательно, можно понизить порядок этого уравнения, сделав подстановку:

 ,

после этого уравнение примет вид:

 или  (6)

Это уравнение является однородным, т. к. в этом уравнении справа стоит функция . С помощью подстановки  от уравнения (6) перейдем к уравнению с разделяющимися переменными: .

.

Учитывая, что , получим

  - общее решение данного уравнения. #

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Дано дифференциальное уравнение второго порядка, явно не содержащее х, следовательно, оно допускает понижение порядка с помощью подстановки . После применения подстановки получим уравнение: , которое является уравнением с разделяющимися переменными. Решим его.

Т. к. , то  - это тоже уравнение с разделяющимися переменными, интегрируем его:

  - общий интеграл исходного уравнения. #

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач