Интегрирование по частям

Интегрирование по частям.

 Способ основан на известной формуле производной произведения двух функций:

(uv)¢ = u¢v + v¢u

где u(x) и v(x) – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

 или ;

  Получили формулу интегрирования по частям. Применение этого метода позволяет преобразовать подынтегральную функцию к более простой с помощью операций дифференцирования и интегрирования. При этом подынтегральное выражение представляют в виде произведения udv, каждое из сомножителей которого в дальнейшем используется для получения нового, более простого интеграла содержащего v(x) и du(x). Интегрирование начинается с выбора функции u(x) и дифференциала dv(x) и реализуется по следующей схеме : выбираем  u→находим du=u′dx,; выбираем dv→находим v=∫dv. , полученные выражения подставляются в формулу.

Разберем пример , в котором метод интегрирования по частям применяется два раза. 

 

 Пример 10.

 

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

 Пример 11.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

  Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

  Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным ,заменой переменной или введением функций под знак дифференциала, а также интегрированием по частям.

 Пример 12.

  Пример 13.

 Пример 14.

В этом же примере преобразуем дифференциал используя его свойства , внесем cosx под знак дифференциала

  Пример 15.

 Пример 16

 Пример 17.

  Пример 18

 Пример 19

 Пример 20.

  Пример 21.

Интегрирование элементарных дробей.

 Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

 I.  III. 

  II.  IV. 

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и дискриминант b2 – 4ac <0.

 Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

II. 

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

 Пример 22.

  Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx +c выражение (дискриминант)

  b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

 Пример 23.

  Пример 24. .

 Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида  можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование:

.

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл .

 Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

 Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

 Пример 25:

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач