Интегральное исчисление функции одной переменной

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

 Ранее вы изучали первый раздел математического анализа под названием «Дифференциальное исчисление функции одной переменно». В этом разделе рассматривались задачи нахождения производной или дифференциала заданной функции на основании определений: задана y=F(x) найти f(x), функцию являющуюся производной заданной f(x)=F(x)́ или дифференциал dF(x)=F(x)΄dx=f(x)dx. Необходимым для этого являлось условие дифференцируемости F(x) на некотором отрезке [a, b].

 В разделе «Интегральное исчисление функции одной переменной » ставится обратная задача: восстановить функцию, если известен ее дифференциал, т.е. зная производную f(x) и соответственно дифференциал f(x)dx найти такую функцию F(x), производная от которой будет равна f(x):. F(x)′=f(x), а дифференциал. dF(x)=F(x)΄dx=f(x)dx.

Примером прикладной задачи служит наиболее простая в формулировке задача физики: пусть задана функция описывающая изменение скорости движения материальной точки v=v(t) ( скорость как функция времени) , надо найти функцию описывающую изменение положения (расстояние проходимое телом) со временем S = S(t), причем по определению скорость есть производная от пути по времени S(t)′ = v(t), а дифференциал dS = S(t)′dt = v(t)dt как расстояние проходимое телом за интервал времени dt,в момент времени t.

Основные понятия, теоремы, формулы интегрального исчисления. Введем новые понятия .

  Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x)

Основная задача теории неопределенного интеграла – найти первообразную.

Свойства первообразной можно сформулировать в виде теоремы

Теорема: Если F1(x) и F2(x) – две любые первообразные для f(x) на [a, b], то

F1(x) - F2(x)=С=const

Теорему легко доказать на основании определения первообразной ( попробуйте самостоятельно).

  Следствие: Первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

Таким образом решение сформулированной выше задачи - достаточно найти одну первообразную и прибавить к ней const. С.

Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) на [a, b] называется совокупность (множество) всех первообразных для функции f(x), которые определены соотношением:

F(x) + C.

и обозначается символом: 

где f(x) –называется подынтегральной функцией, x- переменной интегрирования.

 Условием существования неопределенного интеграла от функции f(x) на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

 Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.  где u, v, w – некоторые функции от х.

5.

6.

Определение: Интегрированием называется операция нахождения первообразной F(x) по заданной производной f(x) или дифференциалу f(x)dx . Интегрирование – действие обратное дифференцированию и правильность результата интегрирования можно проверить дифференцированием.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл, значит вспомнить таблицу производных , свойства неопределенного интеграла, свойства дифференциала, сообразить как выглядит первообразная. и записать совокупность первообразных

Интегрирование или нахождение неопределенного интеграла связано с нахождением первообразной функции. Для некоторых подынтегральных функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

  Для удобства, значения неопределенных интегралов большинства основных элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций. Таблица неопределенных интегралов является прямым следствием таблицы производных основных элементарных функций, правил дифференцирования и свойств дифференциала. Знание и умение пользоваться этими понятиями необходимо для освоения темы.

Таблица основных неопределенных интегралов

 Интеграл

 Первообразная

 Интеграл

 Первообразная 

1

 -

9

 ex + C

2

 

 

10

 sinx + C

3

 

11

 -cosx + C

4

 

12

 tgx + C

5

13

 -ctgx + C

6

ln

14

 arcsin + C

7

 ln½cosx½+C

15

8

 ln½sinx½+ C 

16

 

 

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач