Интегральное исчисление функции одной переменной

 Ранее вы изучали первый раздел математического анализа под названием «Дифференциальное исчисление функции одной переменно». В этом разделе рассматривались задачи нахождения производной или дифференциала заданной функции на основании определений: задана y=F(x) найти f(x), функцию являющуюся производной заданной f(x)=F(x)́ или дифференциал dF(x)=F(x)΄dx=f(x)dx. Необходимым для этого являлось условие дифференцируемости F(x) на некотором отрезке [a, b].

 В разделе «Интегральное исчисление функции одной переменной » ставится обратная задача: восстановить функцию, если известен ее дифференциал, т.е. зная производную f(x) и соответственно дифференциал f(x)dx найти такую функцию F(x), производная от которой будет равна f(x):. F(x)′=f(x), а дифференциал. dF(x)=F(x)΄dx=f(x)dx.

Примером прикладной задачи служит наиболее простая в формулировке задача физики: пусть задана функция описывающая изменение скорости движения материальной точки v=v(t) ( скорость как функция времени) , надо найти функцию описывающую изменение положения (расстояние проходимое телом) со временем S = S(t), причем по определению скорость есть производная от пути по времени S(t)′ = v(t), а дифференциал dS = S(t)′dt = v(t)dt как расстояние проходимое телом за интервал времени dt,в момент времени t.

Основные понятия, теоремы, формулы интегрального исчисления. Введем новые понятия .

  Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x)

Основная задача теории неопределенного интеграла – найти первообразную.

Свойства первообразной можно сформулировать в виде теоремы

Теорема: Если F1(x) и F2(x) – две любые первообразные для f(x) на [a, b], то

F1(x) - F2(x)=С=const

Теорему легко доказать на основании определения первообразной ( попробуйте самостоятельно).

  Следствие: Первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

Таким образом решение сформулированной выше задачи - достаточно найти одну первообразную и прибавить к ней const. С.

Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) на [a, b] называется совокупность (множество) всех первообразных для функции f(x), которые определены соотношением:

F(x) + C.

и обозначается символом: 

где f(x) –называется подынтегральной функцией, x- переменной интегрирования.

 Условием существования неопределенного интеграла от функции f(x) на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

 Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.  где u, v, w – некоторые функции от х.

5.

6.

Определение: Интегрированием называется операция нахождения первообразной F(x) по заданной производной f(x) или дифференциалу f(x)dx . Интегрирование – действие обратное дифференцированию и правильность результата интегрирования можно проверить дифференцированием.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл, значит вспомнить таблицу производных , свойства неопределенного интеграла, свойства дифференциала, сообразить как выглядит первообразная. и записать совокупность первообразных

Интегрирование или нахождение неопределенного интеграла связано с нахождением первообразной функции. Для некоторых подынтегральных функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

  Для удобства, значения неопределенных интегралов большинства основных элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций. Таблица неопределенных интегралов является прямым следствием таблицы производных основных элементарных функций, правил дифференцирования и свойств дифференциала. Знание и умение пользоваться этими понятиями необходимо для освоения темы.

Таблица основных неопределенных интегралов

 Интеграл

 Первообразная

 Интеграл

 Первообразная 

1

 -

9

 ex + C

2

 

 

10

 sinx + C

3

 

11

 -cosx + C

4

 

12

 tgx + C

5

13

 -ctgx + C

6

ln

14

 arcsin + C

7

 ln½cosx½+C

15

8

 ln½sinx½+ C 

16

 

 

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач