Основные методы интегрирования

Основные методы интегрирования. 

В интегральном исчислении нет универсальных способов интегрирования. Основной прием интегрирования - преобразование подынтегральной функции с целью привести ее к табличному виду. Поэтому таблицу интегралов надо помнить.

 

2.1.Непосредственное интегрирование.

 Метод непосредственного интегрирования основан на таблице производных, на основании которой находится возможное значение первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием.

Необходимо запомнить : дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

 Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования  можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

 Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и неопределенных интегралов.

  Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Метод внесения под знак дифференциала.

Для широкого круга неопределенных интегралов оказывается удобным для приведения к табличному виду преобразовать дифференциал.

Эта процедура отражена в позиции 6 перечня свойств неопределенного интеграла. Дифференциал не меняется если к переменной интегрирования прибавить или отнять постоянную величину, а если умножить переменную интегрирования, то на эту же величину необходимо разделить дифференциал

  dx= d(x+c) 

Такая процедура , после переобозначения переменной интегрирования ax+c=t приводит к табличным интегралам ,например:

  Пример1: 

 

Внести под знак дифференциала можно элементарные функции и проверить результат с помощью дифференцирования. Рассмотрим следующие примеры этой операции:

 cosxdx = d(sinx) sinxdx = -dcosx xdx = d(x2/2)  x2dx = d(x3/3)

 exdx = d(ex) e-xdx = -d(e-x)  

     

  

Этот прием позволяет значительно упростить преобразование подынтегрального выражения для приведения его к табличному виду. В представленных ниже примерах в подынтегральной функции выделяется ее часть, которая при внесении этой части под знак интеграла позволяет увидеть табличный интеграл::

 Пример 2.

  Пример 3.

 Пример 4.

 Пример 5.

Обратите внимание на процедуру замены переменной интегрирования dx→dt. Это действие можно опустить и выполнять интегрирование в уме.

Метод подстановки (замены переменных).

Метод замены переменной обобщает рассмотренные выше примеры. Существует две формулы замены переменной в неопределенном интеграле:

 Первая формула: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) , при которой переменная x принимается как дифференцируемая функция новой переменной t, и dx = j¢(t)dt получается новый интеграл более простой для интегрирования:

  Вторая формула: Если под знаком заданного интеграла можно выделить функцию j(x) , ее производную j¢(x) и дифференциал j¢(x)dx , такую, что после выбора в качестве новой переменной интегрирования t = j(x) , новый интеграл приобретает более простой вид

 

Таким путем можно обосновать формулу

   

 

 где t=ax+b , x=(t-b)/a dt=adx a, b – const 

т.е. мы применили ранее рассмотренный прием интегрирования «введение новой функции под знак дифференциала» с последующей подстановкой новой переменной. .

 Пример 6. Найти неопределенный интеграл .

Проведем замену переменной интегрирования t = sinx, т.к. dt = cosxdх, тогда:

 

 Пример 7.

Замена   - обратная функция на промежутке строгой монотонности. Получаем:

=

 Пример 8:

=

 Пример 9.

 

 Пример 10:Найти неопределенный интеграл. С целью упростить подынтегральное выражение, избавиться от корня, вспомним основное тригонометрическое тождество  cos2x + sin2x = 1 откуда cos2x = 1-sin2x на основании этого делаем замену переменной

Используя подстановки sint=x/3, t=arcsin(x/3) и выражая

 

sin4t=2sin2tcos2t=4sintcost(cos2t-sin2t)=4(x/3)(√ 1-x2/32)(1-x2/9 - x2/9) после подстановки, находим первообразную.

 Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода специальной подстановки для различных типов функций.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач