Основные методы интегрирования

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

Основные методы интегрирования. 

В интегральном исчислении нет универсальных способов интегрирования. Основной прием интегрирования - преобразование подынтегральной функции с целью привести ее к табличному виду. Поэтому таблицу интегралов надо помнить.

 

2.1.Непосредственное интегрирование.

 Метод непосредственного интегрирования основан на таблице производных, на основании которой находится возможное значение первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием.

Необходимо запомнить : дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

 Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования  можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

 Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и неопределенных интегралов.

  Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Метод внесения под знак дифференциала.

Для широкого круга неопределенных интегралов оказывается удобным для приведения к табличному виду преобразовать дифференциал.

Эта процедура отражена в позиции 6 перечня свойств неопределенного интеграла. Дифференциал не меняется если к переменной интегрирования прибавить или отнять постоянную величину, а если умножить переменную интегрирования, то на эту же величину необходимо разделить дифференциал

  dx= d(x+c) 

Такая процедура , после переобозначения переменной интегрирования ax+c=t приводит к табличным интегралам ,например:

  Пример1: 

 

Внести под знак дифференциала можно элементарные функции и проверить результат с помощью дифференцирования. Рассмотрим следующие примеры этой операции:

 cosxdx = d(sinx) sinxdx = -dcosx xdx = d(x2/2)  x2dx = d(x3/3)

 exdx = d(ex) e-xdx = -d(e-x)  

     

  

Этот прием позволяет значительно упростить преобразование подынтегрального выражения для приведения его к табличному виду. В представленных ниже примерах в подынтегральной функции выделяется ее часть, которая при внесении этой части под знак интеграла позволяет увидеть табличный интеграл::

 Пример 2.

  Пример 3.

 Пример 4.

 Пример 5.

Обратите внимание на процедуру замены переменной интегрирования dx→dt. Это действие можно опустить и выполнять интегрирование в уме.

Метод подстановки (замены переменных).

Метод замены переменной обобщает рассмотренные выше примеры. Существует две формулы замены переменной в неопределенном интеграле:

 Первая формула: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) , при которой переменная x принимается как дифференцируемая функция новой переменной t, и dx = j¢(t)dt получается новый интеграл более простой для интегрирования:

  Вторая формула: Если под знаком заданного интеграла можно выделить функцию j(x) , ее производную j¢(x) и дифференциал j¢(x)dx , такую, что после выбора в качестве новой переменной интегрирования t = j(x) , новый интеграл приобретает более простой вид

 

Таким путем можно обосновать формулу

   

 

 где t=ax+b , x=(t-b)/a dt=adx a, b – const 

т.е. мы применили ранее рассмотренный прием интегрирования «введение новой функции под знак дифференциала» с последующей подстановкой новой переменной. .

 Пример 6. Найти неопределенный интеграл .

Проведем замену переменной интегрирования t = sinx, т.к. dt = cosxdх, тогда:

 

 Пример 7.

Замена   - обратная функция на промежутке строгой монотонности. Получаем:

=

 Пример 8:

=

 Пример 9.

 

 Пример 10:Найти неопределенный интеграл. С целью упростить подынтегральное выражение, избавиться от корня, вспомним основное тригонометрическое тождество  cos2x + sin2x = 1 откуда cos2x = 1-sin2x на основании этого делаем замену переменной

Используя подстановки sint=x/3, t=arcsin(x/3) и выражая

 

sin4t=2sin2tcos2t=4sintcost(cos2t-sin2t)=4(x/3)(√ 1-x2/32)(1-x2/9 - x2/9) после подстановки, находим первообразную.

 Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода специальной подстановки для различных типов функций.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач